Barisan Aritmatika dan Barisan geometri Kelas 8 SMP

Apa kabar teman-teman, kalau kemarin kita sudah membahas tentang barisan bilangan secara umum, kali ini kita akan penggolongan barisan bilangan. Barisan bilangan terbagi atas dua macam yaitu :

1. Barisan bilangan Aritmatika
2. Barisan bilangan Geometri

Definisi Barisan Bilangan Aritmatika Dan geometri 

1. Barisan Bilangan Aritmatika ( penjumlahan )

Barisan bilangan aritmatika , yaitu barisan yang selisih antar suku yang berdekatan konstan atau barisan aritmatika disebut juga bilangan yang suku selanjutnya merupakan penjumlahan dari suku sebelumnya dengan rasio .

• Bentuk barisan aritmatika 

a. Barisan aritmatika berderajat satu 

Secara umum, barisan aritmatika ditulis sebagai berikut :

a , a+b , a+2b , a+3b , a+4b , . . . .

U1 = a

U2 = a+2b

U3 = a+3b

U4 = a+ 4b

U10= a + 9b

Jadi , diperoleh Rumus barisan aritmatika sebagai berikut :

• Rumus Barisan Aritmatika 

Un = a + ( n – 1 ) b 

b = Un -U(n-1)    atau     b= U(n+1) – Un 

Keterangan :

Un = suku ke n

n = banyaknya suku

a = suku pertama

b = rasio atau beda

Contoh Soal 

1. 7 , 13 , 19 , 25 , 31 , 37 , . . .

Dari barisan bilangan di atas , tentuka :

a.) a

b.) b

Penyelesaian :

a.) a = suku pertama maka a = 7

b.) b = U2 – U1

         = 13 – 7

   b   = 6

2. Suatu arisan aritmatika suku ke-3 = 13 dan suku ke -6 = 28 . Tentukan :

a.) b

b.) a

c.) U8

d.) Tulislah enam suku pertama

Penyelesaian :

Diketahui : U3 = 13 dan U6= 28

Jawab :

a. ) U3 = 13 ->> a + 2b = 13

     U6 = 28 ->> a + 5b = 28   _

                                 -3b = – 15

                                     b = -15 / -3

                                     b = 5

b.) a + 2b = 13

     a + ( 2.5) = 13

     a + 10 = 13

      a    = 3

c.) Un = a + (n-1)b

     U8 = a + 7b

            = 3 + 7 . 5

            = 38

d.) 3 ,8 , 13 , 18 , 23 , 28 , . . .

b. Barisan aritmatika berderajat dua 

Barisan aritmatika berderajat dua , yaitu barisan aritmatika yang beda atau rasionya tidak tetap dan dan apabila beda tersebut dijadikan barisan maka akan terbentuk rasio yang tetap atau mengalami dua tahap baru diketahui beda atau rasio yang sama atau tetap .

Rumus umum barisan aritmatika berderajat dua :

Un = an²  + bn + c

Contoh :

1 , 3 , 6 , 10 , 15 , .. . .

Dari barisan aritmatika diatas , tentukan :

a.) Un

b.) U20

Penyelesaian :
a. Un = a +(n-1) b
     = 1 +

Barisan di atas merupakan barisan aritmatika berderajat dua , karena dua tahap baru sama rasionya .

Misal Un =  an²  + bn + c

U1 = 1 –> a + b + c = 1   . . . . .(1)

U2 = 3 –> 4a + 2b + c = 3 . . . (2)

U3 = 6 –> 9a + 3b + c = 6 . . .(3)

• Dari persamaan ( 2 ) dan (1 )

4a + 2b + c = 3

a + b + c = 1   _

3a + b = 2  . . . .( 4 )

• Dari persamaan ( 3 ) dan ( 2 )

9a + 3b + c = 6

4a + 2b + c = 3  _

5a + b = 3  . .  . . ( 5 )

• Dari persamaan ( 5 ) dan ( 4 )  untuk mencari nilai a

5a + b = 3

3a + b = 2  _

2a = 1

a = 1/2

• mencari nilai b  , maka gunakanlah salah satu persamaan dan kali ini supaya mempermudah maka gunakan persamaan (4 )

3a + b = 2

3.1/2 + b =2

1 1/2 + b = 2

b = 1/2

• mencari nilai c , maka gunakanlah persamaan ( 1 )

a + b + c = 1

1/2 + 1/2 + c = 1

1 + c = 1

c = 0

• mencari Un , maka gunakanlah persamaan misal , yaitu

Un =  an²  + bn + c

       = 1/2n²  + 1/2n + 0

      = 1/2 n ( n + 1 )

jadi , jawaban nya adalah :

a.) Un =  1/2 n ( n + 1 )

b.) U20 = . . .?

Un =  1/2 n ( n + 1 )

U20 = 1/2 .20 ( 20 + 1 )

        =  10 ( 21 ) = 210

2. Barisan Bilangan Geometri  ( perkalian ) 

Barisan Bilangan Geometri , yaitu suatu barisan bilangan yang suku – sukunya terdiri dari atau terbentuk dari perkalian antara rasio dengan suku sebelumnya .

Bentuk umum dari suatu barisan geometri adalah :

a , a.r , a.r² , a.r³ , a.r⁴ , a.r⁵  , . . . . .

U1 = a

U2 = a.r

U3 = a.r²

U4 =  a.r³

U10 = a.r⁹

Jadi , Rumus Barisan bilangan Geometri  secara umum adalah

Un = a.r^n-1

Contoh soal :

1. Sebuah barisan geometri , diketahui U3 = 18 dan U6 = 486 . Tentukan :

a.) a dan r

b.) U7

c.) Tulislah tujuh suku pertama

Penyelesaian :

Diketahui : U3 = 18     U6 = 486

Jawab :

a.)  U3 = 18 –> a.r²  = 18

     U6 = 486  –> a.r ⁵  = 486

U6 / U3 = 486 / 18   —->  a.r ⁵  / a.r²   =  486 / 18

                                    —–> r³     =  27

                                               r = 3

 a.r²  = 18

a. 3² = 18

a = 2

b.) U7 = a.r ⁶

             = 2 .3 ⁶   = 2 . 729 = 1458

c.) tujuh suku pertama yaitu :

2 , 6 , 18 , 54 , 162 , 486 , 1458 , . . .

Demikian , penjelasan beserta contoh soal mengenai barisan bilangan aritmatika dan barisan geometri, Tidak ada yang sulit selama kita mau belajar. "Jika Kamu tidak dapat menahan lelahnya belajar, | Maka kamu harus sanggup menahan perihnya Kebodohan."~Imam Syafi'i~. Semoga bermanfaat