A. Teorema Pythagoras
Pythagoras menyatakan bahwa : “Untuk setiap segitiga siku-siku berlaku kuadrat panjang sisi miring (Hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat panjang sisi siku-sikunya.”
jika c adalah panjang sisi miring/hipotenusa segitiga, a dan b adalah panjang sisi siku-siku. Berdasarkan teorema Pythagoras di atas maka diperoleh hubungan:
c2 = a2 + b2
Dalil pythagoras di atas dapat diturunkan menjadi:
a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a2
Catatan : Dalam menentukan persamaan Pythagoras yang perlu diperhatikan adalah siapa yang berkedudukan sebagai hipotenusa/sisi miring.
Contoh :
Tentukan rumus pythagoras dan turunan dari segitiga yang memiliki panjang sisi miring a dan sisi siku-sikunya b dan c.
Rumus Pythagoras : c2 = a2 + b2
Turunannya : a2 = c2 – b2
b2 = c2 – a2
B. Menghitung Panjang sisi segitiga siku-siku
Contoh :
1. Pada suatu segitiga ABC siku-siku di titik A. panjang AB= 4 cm dan AC= 3 cm. Hitunglah panjang BC!
Jawab:
BC2 = AC2 + AB2
BC2 = 32 + 42
BC2 = 9 + 16
BC2 = 25
BC = 5 cm
2. Panjang sisi siku-siku dalam segitiga siku-siku adalah 4x cm dan 3x cm. Jika panjang sisi hipotenusanya 20 cm. Tentukan nilai x.
AC2 = AB2 + BC2
202 = (4x)2 + (3x)2
400 = 16x2 + 9x2\
400 = 25x2
16 = x2
= x
3. Sebuah kapal berlayar ke arah Barat sejauh 80 km, kemudian ke arah utara sejauh 60 km. Hitunglah jarak kapal sekarang dari jarak semula.
jawab:
OU2 = OB2 + UB2
OU2 = 802 + 602
OU2 = 6.400 + 3.600
OU2 = 10.000
OU = 100 km
C. Menentukan Jenis Segitiga jika Diketahui Panjang Sisinya dan Triple Pythagoras
1. Kebalikan Dalil Pythagoras
Dalil pythagoras menyatakan bahwa dalam segitiga ABC, jika sudut A siku-siku maka berlaku a2= b2 + c2.
Dalam ABC, apabila a adalah sisi dihadapan sudut A, b adalah sisi dihadapan sudut B, c adalah sisi sihadapan sudut C, maka berlaku kebalikan Teorama Pythagoras, yaitu:
Jika a2 = b2 + c2 maka ABC siku-siku di A.
Jika b2 = a2 +c2 maka ABC siku-siku di B.
Jika c2 = a2 + b2 maka ABC siku-siku di C.
Dengan menggunakan prinsip kebalikan dalil Pythagoras, kita dapat menentukan apakah suatu segitiga merupakan segitiga lancip atau tumpul.
Jika a2 = b2 + c2 maka ABC adalah segitiga siku-siku.
Jika a2 > b2 + c2 maka ABC adalah segitiga tumpul.
Jika a2 < b2 + c2 maka ABC adalah segitiga lancip.
Contoh :
Tentukan jenis segitiga yang memiliki panjang sisi
1. 5 cm, 7 cm dan 8 cm.
Jawab: sisi terpanjang adalah 8 cm, maka a= 8 cm, b = 7cm dan c = 5 cm
a2 = 82 = 64
b2 + c2 = 72 + 52
b2 + c2 = 49 + 25
b2 + c2 = 74
karena a2 < b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga lanci
2. 8cm, 7cm dan 12 cm
Jawab: sisi terpanjang adalah 12 cm, maka a= 12 cm, b = 7cm dan c = 8 cm
a2 = 122 = 144
b2 + c2 = 72 + 82
b2 + c2 = 49 + 64
b2 + c2 = 113
karena a2 > b2 + c2, maka segitiga tersebut adalah segitiga tumpul
2. Triple Pythagoras
Yaitu pasangan tiga bilangan bulat positif yang memenuhi kesamaan “kuadrat bilangan terbesar sama dengan jumlah kuadrat kedua bilangan yang lain.”
Contoh :
3, 4 dan 5 adalah triple Pythagoras sebab, 52 = 42 + 32
Contoh soal dan pembahasan Teorema Pythagoras materi matematika SMP kelas 8 (VIII). Dibahas penggunaan rumus phytagoras pada segitiga, balok atau kubus juga menentukan panjang sisi-sisi segitiga menggunakan perbandingan untuk sudut-sudut istimewa, 30° 45° dan 60°.Berikut beberapa contoh:
Soal No. 1
Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:
Tentukan panjang sisi miring segitiga!
Pembahasan
AB = 6 cm
BC = 8 cm
AC = ......
Mencari sisi miring sebuah segitiga dengan teorema pythagoras:
Soal No. 2
Diberikan sebuah segitiga siku-siku pada gambar berikut ini:
Tentukan panjang sisi alas segitiga!
Pembahasan
PR = 26 cm
PQ = 10 cm
QR = ......
Menentukan salah satu sisi segitiga yang bukan sisi miring:
Soal No. 3
Sebuah segitiga siku-siku memiliki sisi miring sepanjang 35 cm dan sisi alas memiliki panjang 28 cm.
Tentukan luas segitiga tersebut!
Pembahasan
Tentukan tinggi segitiga terlebih dahulu:
Luas segitiga adalah setengah alas dikali tinggi sehingga didapat hasil:
Soal No. 4
Perhatikan gambar segitiga berikut!
Pembahasan
Perbandingan panjang sisi-sisi pada segitiga siku-siku dengan sudut 45° adalah sebagai berikut:
Bandingkan sisi-sisi yang bersesuaian didapat:
Berikutnya akan dibahas soal-soal segitiga yang menggunakan perbandingan dengan sudut-sudut 30⁰ dan 60⁰
Soal No. 5
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut ini!
Jika panjang AC 12√3 cm dan sudut C sebesar 30°, tentukan panjang AB dan panjang BC!
Pembahasan
Tengok perbandingan sisi-sisi pada segitiga siku-siku yang mengandung sudut 30° dan 60° kemudian kita buat perbandingan dengan segitiga ABC:
Dari sisi-sisi yang bersesuaian diperoleh:
Soal No. 6
Perhatikan gambar!
Panjang AD adalah....
A. 15 cm
B. 17 cm
C. 24 cm
D. 25 cm
Pembahasan
Tentukan panjang AC dari segitiga ABC terlebih dahulu, kemudian dilanjutkan dengan mencari panjang AD dari segitiga ACD, keduanya adalah sisi miring pada masing-masing segitiga.
Soal No. 7
Perhatikan gambar berikut!
Panjang AB = BC = 8 cm dan CD = AD = 6 cm. Panjang AC =.....
A. 4,8 cm
B. 9,6 cm
C. 10 cm
D. 14 cm
Pembahasan
Perhatikan segitiga ABD, yang siku-siku di A. Ingat bab sudut keliling lingkaran, kenapa sudut A adalah 90°.
Dengan pythagoras akan ditemukan panjang BD = 10 cm. Terlihat segitiga ABD dengan alas BD = 10 cm dan tinggi t yang belum diketahui. Putar sedikit segitiga ABD hingga seperti gambar dibawah.
Setelah diputar, DA = 6 cm menjadi alas dan AB = 8 cm menjadi tingginya. Dengan prinsip bahwa luas satu segitiga itu sama meskipun mengambil alas dan tinggi yang berbeda, diperoleh nilai tinggi sebelum segitiga diputar.
Jadi panjang AC adalah 9,6 cm.
Soal No. 8
Perhatikan limas TABCD alasnya berbentuk persegi. Keliling alas limas 72 cm, dan panjang TP = 15 cm.
Volume limas adalah...
A. 4.860 cm3
B. 3.888 cm3
C. 1.620 cm3
D. 1.296 cm3
Pembahasan
Penerapan teorema pythagoras pada penentuan volume sebuah limas. Volume limas adalah sepertiga kali luas alas kali tingginya.
Panjang salah satu sisi alas karena bentuknya persegi adalah
s = keliling / 4
s = 72 / 4 = 18 cm
Dengan pythagoras tingginya dapat ditentukan, kemudian masukkan ke volume limas.
Soal No. 9
Perhatikan gambar trapesium ABCD berikut ini!
AD = 13 cm, dan AE = 10 cm. Panjang CH = panjang HI.
AB = 64 cm dan ΔEAK, ΔFKL, ΔGLM dan ΔHMB samakaki.
Tentukan luas daerah yang diarsir!
Soal No. 10
Diketahui keliling belahketupat 52 cm dan salah satu diagonalnya 24 cm. Luas belahketupat ABCD adalah....
A. 312 cm2
B. 274 cm2
C. 240 cm2
D. 120 cm2
Pembahasan
Penerapan teorema pythagoras dalam menentukan luas bangun datar. Belahketupat kelilingnya 52
Panjang sisi belahketupat AB = BC = CD = DA = 52 : 4 = 13 cm
Jika AC = 24, maka panjang AE = 12 cm. Gunakan pythagoras untuk mendapatkan panjang BE, diperoleh BE = 5 cm, sehingga diagonal BD = 10 cm
Luas belah ketupat = (AC x BD) / 2 = (24 x 10) / 2 = 120 cm2
Soal No. 11
Berikut ini adalah ukuran sisi-sisi dari empat buah segitiga :
I. 3 cm, 4 cm, 5 cm
II. 7 cm, 8 cm, 9 cm
III. 5 cm, 12 cm, 15 cm
IV. 7 cm, 24 cm, 25 cm
Yang merupakan ukuran sisi segitiga siku-siku adalah....
A. I dan II
B. I dan III
C. II dan III
D. I dan IV
Pembahasan
Angka-angka yang memenuhi pythagoras / tripel pythagoras / tigaan pythagoras diantaranya:
3, 4, 5 dan kelipatannya seperti (6, 8, 10), (9, 12, 15), (12, 16, 20) dan seterusnya.
5, 12, 13 dan kelipatannya.
7, 24, 25 dan kelipatannya
8, 15, 17 dan kelipatannya
9, 40, 41 dan kelipatannya
11 ,60, 61 dan kelipatannya
12, 35, 37 dan kelipatannya
13, 84, 85 dan kelipatannya
15, 112, 113 dan kelipatannya
16, 63, 65 dan kelipatannya
17, 144, 145 dan kelipatannya
19, 180, 181 dan kelipatannya
20, 21, 29 dan kelipatannya
20, 99, 101 dan kelipatannya
dan seterusnya masih banyak lagi.
Jawab: D. I dan IV.
Soal No. 12
Diberikan sebuah segitiga siku-siku samakaki seperti gambar!
Jika panjang sisi miring segitiga adalah 80, tentukan panjang x.
Pembahasan
Teorema pythagoras untuk segitiga di atas:
Soal no 13
Sebuah kapal berlayar sejauh 15 km ke arah Utara, kemudian berbelok kearah Barat sejauh 36km. hitunglah jarak dari titik awal keberangkatan kapal ke titik akhir!
Penyelesaiannya:
Diketahui : AB = 15 km
BC = 36 km
Ditanyakan: Jarak titik awal ke akhir = AC
Jawab :
Jadi jarak dari titik awal keberangkatan kapal ke titik akhir adalah 31 km
Soal Nomor 14
Sebuah tangga yang panjangnya 14 m bersandar dinding, jarak ujung tangga bagian atas ke lantai adalah 10 m. tentukanlah jarak kaki tangga ke dinding!
Penyelesaiannya:
Diketahui : Tangga (PQ)= 14 m
Jarak tangga ujung tangga ke lantai ( QR) = 10m
Ditanyakan : Jarak kaki tangga ke dinding = PQ
Jawab :
Jadi jarak kaki tangga ke dinding adalah 9,7 m
Contoh Soal Nomor 15
Dua buah tiang dengan tinggi masing-masing 24 meter dan 14 meter. Tiang tersebut berjarak 22 meter satu sama lain. Diujung kedua tiang dipasangkan sebuah kawat penghubung. Hitunglah panjang kawat tersebut!
Penyelesaiannya:
Diketahui :
Tinggi tiang 1 = 24 m
Tinggi tiang 2 = 14 m
Jarak tiang (PQ)= 22m
Ditanyakan :
Panjang kawat penghubung (QR)
Jawab :
Jadi, Panjang kawat penghubung (QR) adalah 24, 16 cm
Contoh Soal 16
Sebuah persegi panjang berukuran panjang 24 cm dan diagonalnya 30 cm. Hitunglah lebar persegi panjang tersebut!
Penyelesaiannya:
Diketahui :
Panjang (AB) : 24 cm
Diagonal (BD) : 30 cm
Ditanyakan:
Lebar (AD) : …
Jawab :
Jadi, lebar persegi panjang adalah 18 cm
Contoh Soal 17
Andi berjalan dari rumahnya menuju sekolah. Dari rumah Andi berjalan sejauh 300 meter ke arah Timur. Kemudian dilanjutkan 400 meter ke arah Utara. Berapakah jarak terdeketat dari Rumah Andi ke Sekolah?
Penyelesaiannya:
Diketahui:
AB = 300m
BC = 400 m
Ditanyakan :
Jarak dari rumah ke sekolah (AC)
Jawab:
Jadi, jarak terdekat dari rumah ke sekolah adalah 500m
