Gradien dan Persamaan Garis Lurus Kelas 8

Menentukan persamaan garis lurus adalah salah satu topik matematika pada jenjang SMP kelas VIII. Topik ini terbilang cukup sulit bagi yang kurang memahami konsep garis lurus dan hanya berpaku pada penggunaan rumus. Padahal materi ini cukup mudah bagi mereka yang sudah memahami konsep dasarnya. Bahkan, untuk menentukan persamaan suatu garis yang misalnya hanya diketahui dua titik yang dilewati, gradien, dsb, tidak perlu menggunakan rumus yang berbeda-beda. Bagaimana caranya? Mari kita pahami terlebih dahulu tentang garis lurus!

Untuk menentukan persamaan suatu garis lurus, kita akan gunakan betuk umum persamaan garis lurus yang pertama yaitu y = mx + c. Setiap persamaan pasti dapat dibentuk menjadi bentuk y = mx + c. Bentuk umum ini terdiri dari dua bagian yaitu:

Artinya, untuk menentukan persamaan suatu garis lurus yang diperlukan hanyalah gradien dan konstanta. Bagaimana cara mendapatkan nilai gradien dan konstanta suatu garis lurus? Untuk menentukan gradien suatu garis lurus dapat dicari dengan membagi delta y dengan delta x (Baca artikel sebelumnya tentang gradien). Sedangkan untuk mencari konstanta dapat dilakukan dengan mensubstitusikan salah satu titik yang dilewati.

Jadi ada dua langkah yang harus dilakukan untuk menentukan persamaan suatu garis lurus yaitu:
Menentukan gradien dengan cara membagi delta y dengan delta x
Menentukan konstanta dengan cara mensubstitusikan salah satu titik yang dilewati.
Untuk langkah langkah pastinya kita simak materi berikut mengenai Gradien dan Persamaan Garis lurus

BAB II

Gradien dan Persamaan Garis Lurus

1. Gradien

– Gradien (m) disebut juga kemiringan garis.

– Bentuk umum persamaan garis lurus y = mx+c , dg m(gradien)

– Sedangkan pada persamaan garis : ax+by+c = 0 maka gradiennya :

by = -ax – c

y = -a/bx – c/b

m(gradient) = -a/b

contoh soal : tentukan gradien persamaan garis 2x+4y+5 = 0

4y = -2x-5

y = -2/4 x – 5/4

maka m = -2/4 = -1/2

cara cepat = -a/b = -2/4

Macam-macam gradien :

a) Gradien bernilai positif

Bila m (+)  contoh : 6x – 2 y – 9 = 0

m = – (6/-2) = 3 (positif)

b) Gradien bernilai negative

Bila m (-) Contoh : 6x + 3y – 9 = 0

m = – (6/3) = -2 (negative)

c) Gradien garis melalui pangkal koordinat

Garis l melalui pangkal koordinat (0,0) maka : m = y/x

contoh : Gradient Garis yang melalui titik (0,0) dan (2,-3) adalah :

m = y/x = -3/2

d) Gradien garis melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)

sebuah garis lurus dapat diperoleh dengan cara menguhubungkan dua titik sembarang misal titik P (x1 y1) dan Q (x2 Y2) , Gradien garis PQ = m = delta y / delta x = (y2-y1)/(x2-x1)

contoh : Gradien melalui titik (-4,5) dan (2,-3)

m = (y2-y1)/(x2-x1) = (-3-5)/(2+4) = -8/6 = -4/3

2. Hubungan 2 Garis Lurus :

Bila diketahui garis k : y = m1 x + c dan garis l : y = m2 x + d maka berlaku gradien :

1) m1 = m2 jika garis k sejajar garis l

contoh : gradien sebuah garis yang sejajar dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6

m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg sejajar : m1=m2 , maka m2 = -1/2

2) m1 . m2 = -1 jika garis k tegak lurus

garis l contoh : gradien sebuah garis yang tegak lurus dengan 3x + 6y = 8

a = 3 , b = 6 m = -a/b = -3/6 = -1/2 dua garis yg tegak lurus : m1 . m2 = -1 , maka m2 = 2

3. Persamaan Garis Lurus

a) Garis dengan gradien m dan melalui 1 titik

Persamaan garis dengan gradien m dan melalui sebuah titik (x1,y1), adalah :

y – y1 = m (x – x1)

Contoh 1 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik A(-3,4) dan bergradien -2.

jawab :

Titik A(-3,4), berarti x­1 = -3 , y1 = 4 dan bergradien -2, berarti m = -2

Persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1,y1) adalah :

y – y1 = m ( x – x1 )

y – 4 = -2 {x – (-3)}

y – 4 = -2 (x + 3 )

y – 4 = -2 x – 6

y = -2x – 6 + 4

y = -2x – 2

Contoh 2 :

Tentukanlah persamaan garis melalui titik B(6,2) dan sejajar dengan garis yang melalui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3)

jawab :

Garis yang melalui titik P(2,-5) dan (-6, 3)

P(2,-5) berarti x1 = 2 , y1 = -5

Q(-6,3) berarti x2 = -6 , y2 = 3

Gradien yang melaui titik P(2,-5) dan Q(-6, 3) adalah

m (PQ) Misal mPQ = (y2-y1)/(x2-x1) = (3+5)/(-6-2) = 8/-8 = -1 maka m1 = m2 = -1 ( dua garis sejajar )

Titik B(6, 2), berarti x­1 = 6 , y1 = 2

Persamaan garis dengan gradien -1 dan melalui titik (6, 2) adalah :

y – y1 = m ( x – x1 )

y – 2 = -1 (x – 6)

y – 2 = -x + 6

y = -x + 6 + 2

y = -x + 8

b) Persamaan garis yang melalui dua titik

Gradien garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu :

dengan menggunakan rumus persamaan garis dengan gradient m dan melalui sebuah titik (x1 , y1),

yaitu y – y1 = m ( x – x1 ) dapat diperoleh rumus berikut :

y – y1 = m ( x – x1 )

y – y1 = [(y2-y1)/(x2-x1)] (x – x1)

(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

Kesimpulan :

Persamaan garis yang melalui titik (x1, y1) dan (x2, y2) yaitu : (y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

contoh :

Tentukan persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8)

jawab : Garis l melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8).

A(3,4) berarti x1 = 3 , y1 = 4

B(5,8) berarti x2 = 5 , y2 = 8

Persamaan garis yang melalui titik A(3,4) dan titik B(5,8) adalah :

(y – y1)/(y2-y1) = (x-x1)/(x2-x1)

(y-4) / (8-4) = (x-3) / (5-3)

(y-4) / 4 = (x-3) / 2

2(y – 4) = 4(x – 3)

2y – 8 = 4x – 12

2y – 4x = 8 – 12

2y – 4x = -4

y – 2x = -2

4. Hubungan 2 garis lurus

Persamaan garis yang saling sejajar

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan sejajar dengan garis y = 2x – 5

jawab : y = 2x – 5  maka m = 2 m1 = m2 = 2 (karna sejajar)

maka :

y – y1 = m (x-x1)

y – 3 = 2 (x-2)

y = 2x-4+3

y = 2x -1

Persamaan garis yang tegak lurus

1) Tentukan persamaan garis yang melalui titik (2,3) dan tegak lurus dengan garis y = 2x – 5

jawab : y = 2x – 5  maka m = 2 , karna tegak lurus : m1.m2 = -1 m2 = -1/2

maka persamaan garisnya :

y – y1 = m (x-x1)

y – 3 = -1/2 (x-2)

y = -1/2 x + 1 + 3

y = -1/2 x + 4

kali 2

2y = -x + 4

2y + x – 4 = 0

 Persamaan garis yang berhimpit

Garis-garis dengan persamaan y = m1x + c1 dan y = m2x + c2 berimpit, jika dan hanya jika m1 = m2 dan c1 = c2 dan secara umum garis dengan persamaan ax+by+c = 0 akan berhimpit dengan garis px+qy+r = 0 , jika p,q,r masing” merupakan kelipatan dari a, b, c…

Persamaan garis yang berpotongan

Dua garis akan berpotongan jika memiliki gradien yang tidak sama atau koefisien dari x , y, dan konstantanya bukan merupakan kelipatan dari koefisien x, y dan konstanta persamaan garis lainnya.

Contoh soal 1:
Tentukan persamaan garis lurus yang mempunyai gradien 3 dan melewati titik (6, 9)!
Jawab:

Contoh soal 2:
Tentukan persamaan garis yang melalui titik (-3, 2) dan (5, -1)!
Jawab:

Contoh soal 3:
Tentukan persamaan garis lurus yang tegak lurus garis y = 3x + 5 dan melewati titik (3, 4)!
Jawab:


Demikian artikel tentang menentukan persamaan garis lurus. Jika ada pertanyaan silahkan tuliskan pada kolom komentar. Baca juga artikel yang lain